Las formas del Universo (1)

Hace poco se ha celebrado en Madrid el llamado Congreso Internacional de Matemáticos o ICM, y se ha hablado mucho de un matemático llamado Grigori Perelman que ha resuelto uno de los grandes problemas abiertos de las matemáticas, la conjetura de Poincaré. Entre otras cosas, se ha dicho que esta conjetura ayudará a conocer la verdadera forma del Universo. El caso es que en ninguna parte han tratado de profundizar un poco más ni en la ciencia matemática a la que pertenece dicha conjetura, la topología, ni en cómo exactamente va a ayudar a semejante prodigio de la astrofísica, y por eso me he liado la manta a la cabeza y he decidido (intentar) explicarlo siendo lo más claro posible, pero tampoco simplista. Así que vamos allá. En este primer artículo voy a hablar un poco de la topología y a lo que se dedica.

Lo primero de todo: la topología NO tiene nada que ver con la topografía, un error bastante habitual. La topología es una rama de la geometría que tiene como objetivo clasificar todas las formas existentes. Así de fácil y así de complejo. De ese modo, al conocerse todas, se podría ayudar a muchas otras ciencias a la hora de establecer modelos aproximados de la realidad, y en especial a la física.

Lo primero que hace la topología es tener en cuenta el asunto de las dimensiones de los objetos, desde una sola dimensión hasta las que uno quiera (no hay límite en términos abstractos). Es importante no confundir la dimensión de un objeto con la del espacio que lo contiene. Por ejemplo, una pelota tiene dimensión dos, aunque está dentro del espacio tridimensional. ¿Y por qué es esto? Pues porque si fuéramos un bicho y estuviéramos apoyados en la pelota para nosotros no sería muy distinto de un plano. Fijado un punto de partida, con dos números (latitud y longitud) nos bastaría para desplazarnos, igual que en un plano nos bastaría con saber cuándo a la derecha o izquierda y cuando arriba o abajo nos desplazamos del origen. Por otro lado, un muelle posee una sola dimensión, porque por el mismo motivo, viviendo dentro de él no notaríamos diferencia entre él y un alambre recto.

Vamos a llamar a los objetos de dimensión dos superficies (porque en verdad lo son).
Por fortuna hay métodos indirectos para poder distinguir unos objetos de otros. Del mismo modo que nosotros no necesitamos salir de la Tierra para saber que es redonda, ciertas evidencias físicas como la gravedad o el concepto de curvatura y las longitudes de las sombras nos darían pistas para saber cómo es una superficie en la que estamos atrapados.

Claro, alguien puede decir, pues para qué eso si podemos verlo desde fuera. Eso está muy bien si hablamos de superficies, pero hemos dicho que la topología se encarga de todas las dimensiones. Pensemos en dimensión tres. Igual que hay muchas clases de superficies, hay muchas clases de objetos de dimensión tres, aunque no los podamos percibir. De hecho, vivimos dentro de uno muy grande del que parece que no podemos escapar: el Universo. Así que enfocar el estudio de estas formas desde el punto de vista anterior no es una tontería, ni mucho menos.
De modo que nos centraremos en las superficies. Salvo algunas pocas excepciones de objetos unidimensionales (como por ejemplo un hilo), en nuestra vida cotidiana todo lo que nos rodea son superficies. Claro, así a priori pensar en clasificar todas esas formas parece una tarea titánica. Y en verdad lo es, además de un poco innecesaria, porque en el fondo hay formas que no son tan distintas de otras. Es por ese motivo que los topólogos, para hacerse la vida un poco menos imposible, decidieron que si podíamos coger una superficie y deformarla hasta obtener otra, entonces eran esencialmente iguales. Por ejemplo, todas las pelotas, con independencia de su radio, son iguales, porque podemos estirarlas o aplastarlas hasta tener las otras. Y no sólo eso, de hecho un balón de rugby es igual a una pelota, e incluso una cuchara es igual a una pelota. Imaginen que la cuchara es de plastilina, por tanto la pueden deformar todo lo que quieran mientras no corten ni peguen nada hasta hacer una pelota con ella. Pero por ejemplo, un donut nunca será igual a una esfera, porque por mucho que deformen, no podrán librarse del agujero del medio (por eso es importante la regla de no pegar ni cortar).

Bueno, la clasificación es ahora un poco más sencilla… ¿o no? Pues aunque parece que hemos simplificado muchísimo, aún existen demasiadas formas. De modo que vamos a pedir algo más, dos propiedades un poco extrañas pero que dan coherencia a todo el asunto.

La primera es que los objetos serán compactos. La idea de un objeto compacto es que aunque no esté acotado, posee propiedades y ventajas parecidas. Eso se consigue poniendo una serie de propiedades matemáticas que no vienen al caso, y es razonable porque los objetos no compactos de dos dimensiones son muy escasos en la naturaleza.

Por otro lado vamos a pedir que no tengan borde. Por borde se entienden finales bruscos, como las esquinas de un cubo o la base de un cono. El motivo de eso es que con nuestro truco de deformar podemos hacer suaves esos bordes, de modo que considerar objetos con borde no haría más que complicar las cosas.

Vamos mejor. Esto ya empieza a tener buena pinta. Ahora presentaré una serie de superficies importantes en el mundo de la topología. La primera de ellas ya la conocen. Es la esfera.

La esfera es una superficie muy importante. Para empezar, porque con nuestro truco de deformar, hay millones de cosas que pasan a tener la misma forma de una esfera. Sólo en mi escritorio cuento así en un momento un par de docenas (eso sin incluir todos y cada uno de mis bolígrafos y lapiceros).

El siguiente en la lista hay sido mencionada antes bajo la forma de donut. Su nombre matemático es el toro.

Es importante destacar del toro que, como decía antes, tiene entidad propia, no es como la esfera. El toro es el gran representante de todos los objetos con un agujero que conocemos, como una taza de café. El agujero hace que, por ejemplo, dos viajeros, uno que siga un círculo vertical, y otro que siga un círculo horizontal, no puedan jamás encontrarse salvo al regresar de nuevo al punto de partida (no como en la esfera, donde sus rutas se cruzan en las antípodas).
Otra cosa importante del toro es que hay una manera de dibujarlo en dos dimensiones, y es como si fuera una especie de recortable. Cogemos un cuadrado (que si es necesario podemos estirar como chicle en vertical ú horizontal, recuerden), y pegamos los lados opuestos entre sí teniendo en cuenta que las puntas de las flechas deben coincidir:

¿Por qué es importante (y mucho) esto? Porque podemos estudiar una superficie usando sólo dibujos planos. Si un bichito que viviera en una pelota de tenis evolucionara mucho, podría hacerlo, de hecho, aunque no tuviera percepción de la tercera dimensión. Y volviendo al Universo, nosotros apenas tenemos percepción de la cuarta dimensión, pero gracias a este procedimiento, podemos ver el Universo a partir de un esquema de recortables parecido a éste. Claro, es más complicado porque ahora las cosas que se juntan no son líneas sino superficies y en teoría no partimos de un cuadrado sino de un cubo, pero la idea básica se mantiene.
Pero vamos a regresar al cuadrado. A base de poner distintas flechas uno puede jugar una barbaridad y obtener formas de lo más variopintas. Incluyendo una nueva regla, que es que los lados opuestos sin flechas no se deben pegar, vamos a poner unos ejemplos a ver si son capaces de distinguir de qué figuras hablamos:

La primera, en efecto, es un cilindro, pues es como coger una tira de papel y pegarla por los extremos. La segunda, sin embargo, al tener las flechas apuntando al revés, da otra forma ligeramente distinta. La idea es que antes de pegar los extremos de nuestra tira damos un giro. Esta superficie, que seguro a muchos les suena porque la ciencia ficción la adora, es la banda de Moebius (no confundir, por cierto, con el por otro lado magnífico dibujante).

La banda de Moebius tiene una extraña propiedad: no posee nada que se pueda llamar dentro y fuera. A un cilindro, con poner dos tapas, le basta para poseer interior y exterior. Un toro y una esfera, evidentemente, lo poseen. Pero cualquier intento de hacer eso con la banda de Moebius está destinado al fracaso. De hecho, si uno se pone a andar por la cara interior de la banda, de repente aparece por la cara exterior y viceversa. Ojalá pasara eso con una esfera, en concreto con nuestro planeta (es decir, que viajando por el exterior que de repente apareciéramos en el interior). Esta propiedad se llama ser no orientable, y la banda de Moebius no es la única superficie que la posee. Los dos últimos cuadrados tampoco lo son. Es posible que algunos se hayan roto la cabeza intentando imaginar qué formas tienen. No se esfuercen, no se pueden concebir por la mente humana con claridad de lo extraños que son porque no pueden ser dibujados en un espacio de dimensión tres. El primero de ellos se llama la Botella de Klein, y el dibujo que mejor lo aproxima es el siguiente:

Es una superficie muy rara pero muy importante, la idea es que la botella tiene conectado el cuello y la base y está a la vez dentro y fuera de sí misma, pero esto es sólo una manera de hablar, porque como la banda de Moebius, no posee dentro ni fuera. La otra se llama el plano proyectivo. La representación del cuadrado de arriba no es la más habitual para referirse a ella. Se usa mucho en dibujo técnico y en perspectivas, porque en ella no existen las rectas paralelas (de hecho, se puede decir que su inventor es Leonardo Da Vinci).

Sólo me falta un ingrediente para la gran receta, y es la suma conexa de dos superficies. La idea de la suma conexa es: cogemos un tubo, pegamos un extremo a una superficie, otro a la otra, y tenemos una suma conexa. Como podemos deformar lo que queramos, al final es como si cosiéramos una superficie a otra, en cierto modo. Así que vamos a ver, la suma conexa de un toro y una esfera es… un toro con un bulto redondo enorme, ¿no? Peeero, deformamos el bulto enorme (imaginen que es como un grumo de harina que hundimos) y tenemos… pues otra vez el toro. Ahora, la suma conexa de dos toros es… pues es una figura nueva. Tener dos agujeros no tiene nada que ver con tener uno ni tener ninguno. Esta figura se llama, como es lógico, el ocho. Es representante de objetos de la vida cotidiana con dos agujeros, como unas tijeras.

Y por fin, llega la gran clasificación. Vale, vale, vale, tenemos una superficie cualquiera, que es compacta y sin borde, acordamos. Entonces:

  • Si es orientable, es o una esfera, o un toro, o sumas conexas de varios toros entre sí (tres agujeros, cuatro, cinco…)
  • Si no lo es, o es el plano proyectivo, o es la Botella de Klein, o es sumas conexas de estas dos superficies (aquí podemos mezclar, y salen cosas distintas, no como arriba, que coser una esfera no vale para nada).

Y ya está. Se acabó. No hay más. De este modo se obtienen TODAS las superficies que existen en el Universo. Si ya quieren ser más precisos, empiezan a deformar y punto, pero tampoco es necesario, porque la geometría de dos superficies, si una es deformada a partir de la otra, posee la misma naturaleza. De modo que ahora conocen todas las formas esenciales de todas las superficies del Universo. Bueno, este resultado, por supuesto, es difícil de demostrar, mucho.

Por desgracia, no se ha conseguido este resultado en las superficies de tres dimensiones, es decir, no sólo es que no sepamos qué forma tiene el Universo, es que ni sabemos con seguridad todas las posibilidades. Pero aun así, existen ciertas cosas que debería cumplir. Por otro lado, el reciente descubrimiento de Perelman ha ayudado a que haya que buscar menos formas. Pero todo esto, en la segunda parte de este artículo.

por Miguel Angel López

(Para más detalles leer el artículo La Forma del Universo, por Vicente Muñoz).

La frontera del olvido

Kneser tanteó una vez más con el fragmentador la pared para asegurarse de que había elegido el punto más apropiado para poder abrir un agujero. Hizo una seña a Séradim, su único compañero en aquellos túneles oscuros y profundos, y éste se apartó, ajustando con firmeza su máscara de oxígeno. Kneser apretó el botón y el fragmentador comenzó su trabajo, usando vibraciones ajustadas a la longitud de onda de la pared para romper ésta lentamente y sólo en los sitios apropiados. Kneser estaba tenso con el instrumento en las manos. Había estado en muchas excavaciones a lo largo de su vida, pero nunca se había sentido tan embargado por la emoción como en aquel instante.

El fragmentador terminó su trabajo, a lo que Kneser y Séradim se colaron por el estrecho agujero que el primero había abierto, el mínimo necesario para avanzar. Miraron fijamente y encontraron otro pasillo oscuro. Cuando encontraron el primero, varios días atrás, sintieron miedo. Ese miedo estaba siendo sustituido por una naciente frustración. Otro nuevo pasillo. Avanzar más hondo aún. Encendieron las antorchas atómicas y prosiguieron su andar.

–¿Qué lectura dan tus instrumentos, Séradim? –preguntó Kneser mientras examinaba las inscripciones del lugar.

–Está cerca. Tiene que estar cerca –respondió a su compañero sin levantar la vista de sus aparatos, cuyos nombres técnicos Kneser apenas era capaz de pronunciar.

Estaban más cerca de lo que cualquier aparato podía medir, y Kneser lo sabía, de lo contrario no se habría separado del resto del grupo. No en vano por algo era uno de los mayores conocedores de los Profundos, la raza alienígena cuyas ruinas estaban recorriendo.

Los Profundos… Kneser recordó la primera vez que encontró señales de ellos. Un accidente. Una explosión incontrolada que abrió una sima en pleno fondo del mar. Cuando la zona fue asegurada, él y su grupo de estudiantes de arqueología penetraron en las profundidades de la entrada que habían encontrado, porque no tenían duda alguna de que se trataba de una entrada. Construcciones muy alejadas de los cánones griegos, llenas de amplias estancias que se hubieran podido decir dominadas por gigantes. Un estudio geológico reveló que estaban en la frontera de lo que se podía llamar la superficie terrestre, a punto de entrar en las capas superficiales. Tiempo atrás, en los primeros milenios de la humanidad, la empresa de penetrar más allá del manto, incluso a las proximidades del núcleo, era considerada poco menos que una locura sólo propia de la ciencia ficción, en la que se relataba que había dinosaurios y perdidas culturas.

Pero la ciencia ficción se empezó a convertir en ciencia. Se encontraron ruinas de ciudades. No ciudades de los hombres; ciudades con proporciones que desafiaban los escritos de la época clásica, donde era posible imaginarse al monstruo Tifón sepultado en un cráter, donde era posible imaginarse a un hombre luchar contra una legión de titanes. Los estudios geológicos revelaron que estaban a tanta profundidad que resultaba necesario remontarse a cuando la Tierra no podía ser aún llamada como tal, cuando sólo se trataba de una bola incandescente asediada por eternos volcanes y mortales lluvias de meteoritos, sin atmósfera ni agua. Un erial que, por increíble que le resultara a Kneser y todo su equipo, alojaba vida.

No caldos primitivos ni sopas de genoma. Vida inteligente, habitable. Y el ser humano nunca la había encontrado porque la presencia de su civilización estaba oculta bajo la corteza terrestre, más hondo de lo que se pensó que los estratos podrían llegar jamás. Al principio Kneser se negó a la evidencia. No era lógico ni probable, simplemente se habían confundido en las mediciones y no estaban tan cerca del núcleo, sólo eran ruinas de hombres de una impensable tenacidad, sólo una prueba de que los seres humanos podían en verdad adaptarse a las condiciones más adversas.

Tuvo que ver las inscripciones de las paredes para convencerse de lo contrario.

Nunca, jamás, había visto nada remotamente similar. No conocía idioma terrestre alguno que tuviera tal sintaxis, no podía apenas hablar de términos linguísticos. La hipótesis de la cultura extraterrestre empezó a tomar forma, y así fue presentada al mundo, pero Kneser no los consideraba extraterrestres, sino tan terrestres como nosotros. Tal vez, incluso, con más derecho a llamarse así. Sin embargo, fueron bautizados como los Profundos, los habitantes de las profundidades.

Entonces comenzó su estudio. Su búsqueda de Atlántidas perdidas, de Acrópolis canónicas, y una de las etapas más fascinantes de la historia de la humanidad. Eran inteligentes, posiblemente mucho más que los humanos. Cada nuevo yacimiento traía consigo tecnología devastada, pero tecnología al fin y al cabo, y la medicina, la biología, todas las ciencias en general se enriquecieron con pobres retazos de lo que debió ser un imperio de prosperidad en un entorno de caos.

Y así fue como Séradim conoció a Kneser. Como científico no tardó en compartir el deseo de Kneser de encontrar más muestras de su cultura, y por lo que se apuntó con el equipo de expertos del mundo entero a la expedición al núcleo del planeta. La mezcla de arte y ciencia en los Profundos era notable, para dicha cultura los misterios no eran incompatibles con los descubrimientos, y no existía la aridez del conocimiento ni la irracionalidad de las supersticiones. Pero aquellas cosas sólo Kneser las sabía, el único arqueólogo capaz de descifrar las inscripciones de los Profundos, una raza que no creaba libros pues su conservación en aquella época resultaba imposible.

Y ahora estaba cerca. Sabía que estaba cerca de conseguirlo. Las lecturas de Séradim eran claras. Detectaba radiación ordenada, actividad rítmica allí abajo. Los Profundos no eran un montón de ruinas sin sentido. Había algo allí abajo. Una máquina aún estaba funcionando.

El resto de los miembros de la exploración no le tomaron en serio, por supuesto. Qué sabría él de máquinas, él que había encontrado el mayor hallazgo de su época por mero accidente. Otros le creían, argumentaban que también la penicilina se había descubierto por accidente, pero tenían miedo de desobedecer a los jefes de excavación. De modo que Kneser y Séradim se separaron del resto del grupo y prosiguieron por su cuenta con las señales de los instrumentos de Séradim como única guía.

–Las expresiones son más modernas en esta zona –dijo Kneser tras pasarse un buen rato ojeando las paredes lisas y puntiagudas–. Nos encontramos en la cúspide de su civilización.

–¿Qué dice? –preguntó Séradim nervioso, apuntando a las paredes con el haz de luz. Se sentía como un profanador de tumbas egipcias.

–Convertido a nuestra manera de ordenar las palabras dice algo así: ‘Éste es el camino que conduce a todos los caminos. El Tiempo está ahora en tus manos.’

–Curiosas palabras para una raza supuestamente más avanzada que nosotros. Pensaba que no tenían religiones.

–Y no las tienen –objetó Kneser–. Su mezcla entre arte y ciencia es tan homogénea que tratan los conceptos científicos con un fervor filosófico que sería la envidia de la escuela griega.

–Las lecturas se incrementan en esa dirección –dijo Séradim ansioso, pensando en las palabras de Kneser y comprendiendo en parte a los Profundos.

–Ya hemos llegado, amigo –dijo Kneser con entusiasmo–. De no ser así no habríamos encontrado esa inscripción, esa advertencia. Y mira –comentó apuntando la antorcha atómica contra las altísimas paredes–. Todos esos mensajes… nunca había visto tanta solemnidad en las palabras de los Profundos. Si no fuera porque estoy usando un término de dudosa aplicación, diría que nos acercamos a un templo, o por lo menos a un lugar sagrado para ellos. ¿Qué puede haber que consideren tan importante que haya aguantado incluso los procesos de formación de la corteza terrestre?

–No estoy seguro de querer saberlo –dijo Séradim mintiendo para sí.

Anduvieron muy lentamente por el pasillo, saboreando cada paso que daban como si estuvieran a punto de encontrar la fuente de la eterna juventud, como si supieran que nunca querrían regresar. Kneser trató de ponerse en contacto con el campamento base. Era inútil. Sacó su indicador de profundidad sólo para cerciorarse que la aguja se había roto hacía varias horas.

Finalmente encontraron una luz brillante al fondo, tan brillante que no sólo pudieron reservar la energía de sus antorchas atómicas, sino que además tuvieron que sacar sus gafas de protección. Séradim pensó que era la primera vez que las usaba desde que sintetizó un cuásar en su laboratorio.

Al final del pasillo encontraron un pórtico alto como ocho hombres por el que entraron sobrecogidos de humildad. Justo al cruzarlo, los instrumentos de Séradim recogieron una alteración en el pulso de las ondas. Las gafas no eran suficiente para protegerse, por lo que tuvieron que moverse casi a ciegas.

–Hemos activado algo –dijo Séradim analizando los cambios.

–¿Una trampa? –preguntó Kneser, que nunca antes se había encontrado con ninguna.

–No, más bien parece como si nuestra presencia hubiera alterado las órdenes preestablecidas.

–La luminosidad disminuyó hasta tal punto que pudieron distinguir una enorme máquina al fondo de la habitación. De un vistazo Séradim, experto en maquinaria Profundos, no pudo identificar qué era ni qué utilidad podía tener, pero comprobó que era más moderna que cualquiera que hubiera visto antes tanto en persona como en trabajos ajenos.

–Creo que tenemos ante nosotros la obra maestra de la cultura Profundos –aseveró Kneser con gravedad.

–Entonces será mejor que nos demos prisa en descifrarla, porque mis instrumentos indican que se está desvaneciendo.

–Kneser se acercó a la base del colosal objeto y buscó inscripciones que traducir.

No tuvo muchas dificultades, pues como pudo comprobar en cuanto estuvo al pie del artefacto se encontraba casi enteramente cubierto por ellas. Muchas de ellas rezaban principios básicos de la cultura Profundos que ya conocía, junto con otros que no había leído nunca antes.

–Sea lo que sea este chisme, le tenían mucho aprecio –comentó en voz alta. La luminosidad era cada vez más reducida, aunque seguían sin necesitar las antorchas atómicas.

–¿Qué ponen? –preguntó Séradim.

–Son sólo proverbios, pero no aparecen muy a menudo, y menos aún todos juntos.

–Busca las Instrucciones Maestras.

–¿El qué?

–En algunas inscripciones se alude a las instrucciones maestras, tres frases elementales que indican el funcionamiento de las máquinas más complejas, como pistas para desentrañar su funcionamiento.

–¿Cómo sabías eso?

–Un artículo reciente de mi colega Golvan. ¿Le recuerdas? Os presenté en una conferencia hace tiempo.

–Debo suponer que nunca se ha encontrado una máquina que las tenga.

–Supones bien.

Kneser siguió buscando hasta que se detuvo junto a una sección destacada de las demás.

–Recuérdame que invite a Golvan a cenar un día de éstos –comentó satisfecho.

-¿Lo has encontrado?

–Creo que sí. Signos ordinales Profundos, pero éstos son de la primera época. Creo que esta máquina fue concebida en los albores de su cultura. Estamos ante un aparato que para ellos debió ser la culminación de sus sueños.

–Y ahora se está apagando –comentó Séradim cada vez más preocupado en lo que miraba los indicadores. Ya no tenían necesidad de las gafas.

–La primera instrucción dice, si deseas la paz y la redención visita el Eje, pero nunca vayas a su mismo centro o el Vórtice te atrapará en el eterno Pasado.

–No suena muy halagueño –dijo Séradim.

–La segunda dice, si deseas viajar, deberás ir a los… no entiendo bien esta palabra, creo que no la había visto antes. Dudo que tenga homólogo en ninguno de nuestros idiomas. La tercera dice, no te acerques a la Frontera del Olvido.

–¿Qué querrá decir?

–No lo sé, pero no es poesía sin más, eso está claro. Menos aún con esta máquina de por medio. Estas instrucciones hablan de lugares. Tiene que haber un mapa por alguna parte…

–¿Y eso de qué nos serviría? ¿Acaso no ha cambiado la superficie terrestre?

–Te sorprenderías de saber lo avanzados que están los estudios de la cartografía Profunda –dijo Kneser en lo que seguía buscando.

–Bueno, finalmente la obra maestra de nuestros anfitriones se ha apagado –dijo Séradim haciendo lo mismo con sus instrumentos. Se acercó a la máquina y examinó sus bordes–. Aquí hay un mecanismo de tensión, Kneser. Lo he visto en otros aparatos Profundos antes. Suele servir para dejar al descubierto nuevas secciones. Éste parece que no ha sido usado nunca.

Kneser se quedó pensativo un momento. Al fin habló.

–A quién quiero engañar, no podría resistir la tentación de dejarlo intocado. Acciónalo.

Así hizo Séradim, y de repente una sección completa de pared, grande como una ciudad, comenzó a deslizarse. Por la velocidad que llevaba parecía que se disponía a aplastarles y a barrer la sala entera, pero al momento se dobló como un complicado rompecabezas y recuperó su posición original para revelar un enorme planisferio.

A pesar de que había luz, era demasiado tenue para poderse leer con claridad, por lo que Kneser encendió su antorcha atómica para rastrear por zonas el recién aparecido mapa.

–Es un mapa físico de los últimos tiempos de los Profundos –explicó con calma–, pero no entiendo los símbolos ni las líneas que los surcan.

–Es que son símbolos científicos –añadió Séradim–. Son líneas de campo.

–¿Estás seguro?

Séradim vaciló un momento.

–Completamente. En muchas cosas la notación científica de los Profundos difiere de la nuestra, pero en esto… son como dos gotas de agua. Junto a cada línea hay números Profundos. Esto es un campo escalar, Kneser. Como las líneas isobaras de las predicciones meteorológicas. Como las líneas de altitud de una montaña –dijo pensando que el ejemplo sería apropiado para ilustrar a su compañero.

–¿Y qué es lo que miden?

Séradim dirigió la antorcha de Kneser inquisitivamente hasta encontrar las unidades de medida. Una vez lo hizo sus pupilas se dilataron.

–Esto, amigo… es un campo de tiempo.

–No te entiendo –comentó Kneser intrigado. La mención de la palabra tiempo en relación a una máquina desconocida le asustaba más si se la oía decir a un científico que si la leía en unas instrucciones arcanas.

–Aunque parezca imposible, estas líneas unen puntos con el mismo tiempo. ¿Dónde… dónde estamos nosotros?

–Aquí –dijo Kneser apuntando con la luz.

–Ahora mismo estamos en una… creo que sería apropiado llamarlo isocrona… de magnitud dos, según el mapa. Es decir, que el tiempo aquí avanza el doble de rápido de lo normal.

–Yo no noto ninguna diferencia respecto a cómo ha avanzado siempre –objetó Kneser.

–Ahí está lo inquietante. Creo que lo que tenemos delante refleja cómo es la Tierra realmente, y lo que nosotros hemos conocido, que el tiempo avance por igual en todos los puntos, o al menos de manera relativamente similar, era producto de esa máquina.

–Entonces… entonces insinúas que en realidad nuestra percepción del tiempo siempre ha sido el doble de la normal…

–¿Qué es normal, Kneser? Todo depende de nuestras unidades, aunque siempre existen ciertas directrices para elegirlas. ¿Cómo eran las instrucciones?

–Una de ellas decía que si se necesitaba… –hizo memoria– la paz y la redención se visitara el Eje.

–Apuesto a que esto es el Eje –dijo Séradim apuntando un punto rodeado de deformados círculos concéntricos. Kneser miró la leyenda cartográfica, y efectivamente lo denotaba como el Eje.

–Los números son el equivalente de nuestros negativos. Cuando se está ahí, el tiempo no sólo no avanza, sino que retrocede. De ese modo podían olvidar los malos acontecimientos, como reza la instrucción. Sin embargo, en el centro de esta zona, el retroceso es infinito, es como un logaritmo en el cero, una asíntota que nunca se detiene. Sólo Dios sabe qué fenómenos físicos le ocurrirán a aquel que estuviera ahí. Sólo Dios sabe qué le habrá ocurrido a los que estuvieran ahí en el momento en que se ha apagado este trasto… dijo mirando a la máquina.

–El centro… es lo que la instrucción llamaba el Vórtice –añadió Kneser.

–Ahora sabemos por qué. La segunda hablaba de poder viajar, ¿verdad?

–Sí, así es. Ponía nombre a los lugares donde hacerlo, y son los mismos que aparecen aquí –dijo señalando a múltiples puntos del mapa–. Todos están cerca de donde hubo grandes ciudades Profundos.

–Dios santo… –dijo Séradim en voz casi imperceptible–. La velocidad. La velocidad, Kneser. La velocidad es inversamente proporcional al tiempo, espacio partido tiempo, como se cuenta a los niños. A más tiempo, menos velocidad y viceversa. En esos puntos las líneas indican tiempos cercanos a cero… y por tanto, velocidades cercanas a infinito, así como aceleraciones. Dios mío, pensábamos que eran avanzados, pero son mucho más que eso. Con este sistema podrían acelerar tanto las naves que irían a velocidades ya no mayores que la luz, sino cientos, miles, millones de veces mayores que la luz.

–Pero eso es imposible, la luz es lo más rápido en el Universo, ¿no?

–¿No lo ves? ¡Hemos vivido en una mentira toda nuestra existencia! Pensábamos que el tiempo se comportaba de manera similar en todas partes, y no es así ni remotamente. Hemos estudiado el Universo sin saber que nuestra percepción de él estaba distorsionada, sin sospechar que estábamos en un campo de tiempos artificial que siempre valía dos en todos los puntos. Éramos peces en un acuario y desconocíamos las olas del mar.

–Y nosotros hemos desactivado la máquina… –pensó Kneser.

–La tercera instrucción… hablaba de no acercarse a la Frontera del Olvido. Si el campo en el que está la Tierra no sufre variaciones, si los cambios son suaves, sin brusquedades, al ir de aquí al Vórtice, donde el tiempo retrocede, como en este lugar avanza deberíamos pasar por algún lugar donde sea cero… –trazó una línea recta entre ambos sitios, y se paró en un anillo de color rojo–. Eso es. Todo ese anillo es la Frontera del Olvido.

–Efectivamente, así es –corroboró Kneser leyendo el mapa–. Pero ¿por qué es tan peligroso?

–Un lugar en el que el tiempo no avanza ni retrocede… es como la parálisis eterna de todo, el fin último. Es ridículo pensar en los movimientos sin pensar en el tiempo, Kneser. Sin tiempo, todo es bello, estático, pero también carente de vida alguna. Y no se puede escapar de algo así. No se puede huir de la Frontera del Olvido. Como… como les habrá pasado a los que estuvieran allí ahora.

–Así que… se fueron de aquí y dejaron este chisme para eliminar todas estas… estas anomalías, tal vez se activó solo una vez estuvieran suficientemente lejos –reflexionó Kneser–. Tal vez tenían miedo de que el experimento saliera mal y por eso se fueron antes.

–Quién sabe. Para ellos el tiempo siempre había sido así. Intuyo que este campo de tiempo artificial afectaba a todo el Sistema Solar. Hay buenas y malas noticias, claro. Ahora el Universo es accesible, podemos viajar en él, y eso es esperanzador. Pero hemos descubierto nuevos monstruos, como cuando descubrimos los agujeros negros. Lugares que se tragan nuestro tiempo, que nos roban el alma.

–Sin embargo –pensó Kneser–, también hemos ganado control sobre el tiempo. Si ahora somos felices, sólo tenemos que ir allí donde el tiempo sea más lento. Si somos tristes, podemos volver atrás… o incluso avanzar más deprisa. Si deseas la paz y la redención… –dijo mirando en el mapa al Eje.

–Tal vez querían encarcelar a los futuros habitantes de la Tierra. O tal vez querían que ellos experimentaran un tiempo uniforme, como dejarse mecer por el viento. Algo que ellos nunca tuvieron.

–En ese caso, ¿por qué se fueron en vez de probarlo ellos?

–Toda la vida con lo mismo y de repente un cambio… aun sabiendo que el cambio es a mejor, se hace duro de sobrellevar.

–Y nosotros lo hemos provocado al llegar aquí. Al entrar a este lugar apartado incluso para su época. ¿Qué haremos? ¿Qué diremos?

–¿Decir? –pensó Séradim mirando al mapa–. La verdad. Lo que encontramos, y cómo va a cambiar el curso de la humanidad. Y les advertiremos sobre la Frontera del Olvido.

–Tienes razón –dijo su compañero cruzando el pórtico sin mirar atrás. Es lo único que podemos hacer.

Séradim se quedó un momento atrás mirando aquel aparato que no hace mucho funcionaba y debido al cual la humanidad vivía una mentira, tal vez piadosa, tal vez no, pero mentira al fin y al cabo.

–Y el tiempo decidirá si los que vinieron antes que nosotros fueron dioses o monstruos –pronunció en voz baja antes de salir.

(A Fede)

2006, Miguel Ángel López Muñoz.

Clave de acceso incorrecta

por Miguel Ángel López M.

El arte de la codificación ha llevado siglos interesando a la humanidad. La necesidad de ocultar datos ha motivado al hombre a ser tremendamente ingenioso a la hora de hacerle la vida imposible a otros que pretenden descifrar mensajes o claves, ya sea por motivos bélicos, de espionaje o meramente lúdicos. Esta disciplina no ha pasado desapercibida en el mundo de la ciencia ficción y fantasía, ni mucho menos. Eso sí, ha sido usada y abusada hasta el punto de hacer de ella poco menos que una ridícula anécdota o un fallo a comentar al salir de la sala de cine o charlar acerca de una novela con otro que la ha leído.

Por poner algunos ejemplos:

En la película Superman Returns, Clark Kent y el marido de Lois deben acceder a los datos del ordenador de ésta, pero se les solicita una contraseña. Tras probar toda clase de palabrejas al final deciden usar la que todos estábamos pensando, Superman. Bingo. De ese modo queda claro que, para Lois, Superman es importante en su vida, o al menos lo fue cuando instauró la clave. Traído por los pelos, pero pasable.

En el libro El Código Da Vinci (y espero que esto no apareciera en la película), bajo circunstancias especiales que no vienen al caso el protagonista, Robert Langdon, se encuentra en el Louvre con un mensaje cifrado, que reza como sigue:

13-3-2-21-1-1-8-5
¡Diabole in Dracon!
Límala, asno

Según comentarios de otro personaje, los criptógrafos de la policía francesa estaban trabajando sin éxito en ello, y Robert Langdon, el protagonista, “volvió a observar aquellos dígitos, con la sensación de que tardaría horas en averiguar alguno”. Bien, para empezar, una creencia popular bastante arraigada es que a la hora de descifrar un mensaje numérico como el de arriba, olvidándonos por un momento de las letras, como posee ocho números, pues debe haber ocho palabras, ocho letras ú ocho sílabas. Falso. Esa es sólo una de tantas maneras de cifrar, muy antigua de hecho, y relativamente fácil de descifrar en nuestra moderna era de ordenadores e incluso a mano con paciencia y conocimientos del idioma. Lo más importante es que un servidor, de un vistazo y tras unos pocos minutos de observación, obtuvo una relación entre los números. Veámoslos en orden ascendente:

1-1-2-3-5-8-13-21

Y, tachán, tenemos la secuencia de Fibonacci. Esta secuencia se caracteriza por empezar con 1, 1 y seguir la sencilla regla de que cada número es la suma de los dos anteriores. Una secuencia, por cierto, que debe gustar mucho a los profanos de las matemáticas porque aparece también en El Ocho, de Katherine Neville, con desigual suerte, y también, y de manera magistral y maravillosa, en la película Pi (Fe en el Caos), relacionándola, como en efecto lo está, con las espirales.

Volviendo al controvertido Código Da Vinci, estuve más tiempo rompiéndome los sesos y tratando de pensar en qué influiría el orden, cuando esa respuesta me llegó leyendo el libro de manera casi ofensiva: ninguna. “Se trata de una broma criptográfica muy simple. Algo así como coger las palabras de un poema famoso y mezclarlas aleatoriamente para ver si alguien reconoce lo que tienen en común”, como dice otro de los protagonistas. Si lo de Superman estaba traído por los pelos, esto ya roza, en efecto, la broma, pero al lector. Para rematarlo, el narrador suelta que “igualmente rara era la serie numérica”, cuando ya no para un criptógrafo sino para un matemático, incluso de primeros años de carrera, saltaría a la vista enseguida la secuencia de Fibonacci, y por si el grado de mongolismo de Langdon no fuera ya claro, pocas líneas después dice que “[Langdon] estaba acostumbrado a las progresiones simbólicas que parecían tener algún sentido”.

Pero más adelante en la narración lo de los mensajes cifrados roza el infantilismo. Capítulo 71, Langdon se encuentra con unos “extraños caracteres”. A mí y a mi madre (con los mismos conocimientos de mensajes cifrados que yo de botánica) nos bastaron cinco segundos para darnos cuenta de que era un párrafo escrito al revés. Langdon especula con que quizá sea una lengua semítica, entre otras grotescas teorías. Para colmo de males las pistas son claras pues mucha gente sabe de la afición de Leonardo Da Vinci a escribir al revés.

Es una pena que Dan Brown se aproveche de las matemáticas de un modo tan burdo y falaz y encima pretenda hacerse pasar por un gran documentador, agradeciendo a su padre, que es matemático, su ayuda en lo relativo a la secuencia de Fibonacci. Este desconocimiento de las matemáticas a la hora de presentar códigos en una obra de ficción ha sido parodiado en muchas ocasiones, como por ejemplo en el Manual del Perfecto Tirano de Peter David, un famoso guionista de comics, el cual habla de tópicos en los que un supervillano no debe incurrir:

Uno de mis consejeros será un niño normal de 5 años. Cualquier fallo en mi plan que sea capaz de detectar será corregido antes de ser llevado a cabo […]. Mi consejero de cinco años también será requerido para descifrar cualquiera de mis códigos. Si lo descifra en menos de 30 segundos no será usado. Nota: lo mismo para las contraseñas.

Otra parodia aparece en la película de Mel Brooks La Loca Historia de las Galaxias. Los Spaceballs raptan a la princesa del mundo de Drudia y proponen cambiarla por el código que otorga acceso a las reservas de aire del planeta. El monarca de Druidia accede y procede a dictar el código: 1, 2, 3, 4, 5. Uno de los Spaceballs comenta que “es la combinación más estúpida que he visto en mi vida, es la que un idiota pondría en sus maletas”. Poco después llega el mandamás de los Spaceballs, y al escuchar el código exclama que “es asombroso, yo tengo la misma combinación en mis maletas”.

En ninguno de estos ejemplos entra la criptografía como ciencia. Ni siquiera se recurre a técnicas elementales de codificación, siendo algunas de ellas de una sencillez abrumadora. Ya desde la antigüedad se conocen interesantes procesos como el cifrado del César. Este procedimiento, llamado así por razones obvias, consistía en lo siguiente:

Elegimos una palabra que no posea letras repetidas, por ejemplo gato. A continuación escribimos el alfabeto, pero saltando las letras ya incluidas en nuestra palabra, en este caso g, a, t, o. Al acabar obtenemos la siguiente asociación entre el alfabeto estándar y el codificado:

abcdefghijklmnopqrstuvwxyz
gatobcdefhijklmnpqrsuvwxyz

Llamaremos a este cifrado “cifrado gato”. De ese modo la palabra poema en cifrado gato sería nmbkg. Cuanto más larga la palabra, más compleja su desencriptación, y las posibilidades son tantas como palabras sin letras repetidas nos dé por usar. Este sistema, actualmente, está en desuso, pero en su momento debió ser muy eficaz. Y es que la criptografía, al ser una ciencia práctica, no perdona. Si algún método empieza a ser poco fiable, nadie lo usará. De más está decir que los bancos están muy interesados en todo lo que tenga que ver con criptografía, y que hay muy poca bibliografía de libros de criptoanálisis, la rama de la criptografía que muestra cómo desencriptar (en el argot romper) códigos.

La criptografía moderna nació a partir de una premisa básica que mucha gente de hecho desconoce acerca de las matemáticas: las matemáticas no son una ciencia donde todo está hecho. Ojalá. Hay muchos, muchísimos problemas sin resolver en absolutamente todas sus ramas, que son una gran cantidad. Allá donde exista un aspecto de la física no resuelto las matemáticas pueden ayudar, y los problemas abstractos también están lejos de ser un cuerpo cerrado en términos de investigación. Por lo tanto se aprovecharon estas premisas con una idea tan simple como brillante: descifrar un mensaje sin conocer el código debe implicar enfrentarse a un problema no resuelto de las matemáticas.

Ojo, un problema no resuelto no quiere decir que no se puede obtener la solución, aunque parezca un absurdo. Los problemas que interesan a la criptografía son los llamados problemas intratables. Son problemas para los que se conocen procedimientos que, aunque son teóricamente válidos, a la hora de la aplicación práctica su utilidad es nula.

Por ejemplo, los números primos son aquellos tales que sus únicos divisores son 1 y el propio número, como 7 o 103. Dado un número, es un hecho conocido que se puede descomponer de manera única en factores primos salvo el orden. Cien, por ejemplo, se descompone como . El problema de, dado un número, hallar sus factores primos, es intratable. Claro, con cien es fácil, pero traten de hallar a mano los factores primos de 25780432047204727. Y aunque una computadora puede echar una mano en el asunto, no lo tiene mucho más fácil. A medida que el número crece, la cantidad de operaciones a realizar crece demasiado en proporción.

Este problema es muy complicado, y de hecho no está resulto, es decir, no existe una manera buena de descomponer un número en sus factores primos. Pero pensemos el problema inverso: dada una serie de primos, encontrar el número del que son factores. Este problema no es que sea fácil, es que es trivial, pues basta con multiplicarlos. Por ejemplo, dados los primos 5, 7, 3 y 3 (pueden ser repetidos), el número del que son factores son .

Resumiendo, tenemos un problema que es muy fácil en un sentido y casi imposible en el otro.

Ésta es la base de la criptografía moderna. En criptografía moderna, llamada de clave pública, existen dos claves, de encriptación y de desencriptación. La clave de encriptación es conocida por todo el mundo, y todos podemos usarla para encriptar mensajes. La de desencriptación, por el contrario, es secreta, pero se sabe que se puede obtener a partir de la de encriptación. Todo el mundo sabe cómo obtenerla. El único problema es que se tarda tanto en hacerlo (pues el proceso involucra un problema intratable de las matemáticas) que para cuando lo conseguimos la clave ya ha sido cambiada. Ese es el gran secreto de la criptografía moderna: no hacer códigos imposibles de descifrar, sino códigos para los que se sabe que se tardará tanto que con sustituir la clave cada cierto tiempo prudencial será más que suficiente.

En el caso de los primos, lo que se usa es un número enorme, muy grande, el cual se sabe que es producto de sólo dos primos. Todo el mundo puede usarlo para codificar un mensaje, pero para descodificarlo hay que conocer los primos. Si no se conocen, la alternativa es factorizar el número, pero éste es un problema intratable. Este procedimiento, uno de los mejores de la actualidad, es conocido como RSA, y cuando fue inventado en 1977 se pensó que era el procedimiento perfecto, infranqueable incluso para los ordenadores del futuro. Pero sus autores (Ron Rivest, Adi Shamir y Len Adleman, del MIT) no contaron con una cosa: Internet y su capacidad para hacer trabajar a muchos ordenadores como uno solo. El RSA fue derrotado, pero sentó las bases de futuros procedimientos. De hecho, los bancos compran números primos que aún no hayan sido descubiertos.

Por último, como no todo son críticas, mencionar un relato corto en el que el uso de la codificación es ejemplar, no incurriendo en errores fáciles como los del Código Da Vinci. Me refiero a El Escarabajo de Oro de Edgar Allan Poe, un relato donde los protagonistas se encuentran con un mensaje cifrado que, a pesar de resultar sencillo, es explicado, justificado y desmenuzado por el autor, tanto desde el punto de vista de la elección del método de cifrado como del procedimiento para resolverlo. Una explicación que llena varias páginas y resulta muy divulgativa y didáctica, además de ser tremendamente verosímil, pues llega a emplear aspectos concretos del idioma en el que el mensaje está escrito. Una prueba más de la maestría de Poe para tratar temas en los que otros menos experimentados han naufragado.

por Miguel Ángel López M.